Fiche descriptive
Titre du document : Hessiennes à déterminants nuls et géométrie projective.
Sous-titre : Partie I, le lien avec la notion de projection orthogonale et introduction à la spécificité euclidienne.
Immatriculation : ISBN 978-2-36923-009-0, EAN 9782369230090.
Auteur : © Thierry PERIAT.
Langue : Française.
Version : 1 (24 janvier 2023) légèrement modifiée le 19 novembre 2023.
Nombre de pages : 5.
Commentaires
Rappel : définition des éléments de la classe II
Mise au point dans un espace mathématique de dimension trois, la méthode intrinsèque destinée à décomposer (synonyme : diviser) les produits vectoriels déformés du type [projectile, cible][matrice déformante] a mis en exergue l’importance de la Hessienne de la polynomiale de degré deux L(projectile) accompagnant chaque décomposition.
Elle a en particulier montré que la valeur de son déterminant, selon qu’il est ou non nul, constitue le critère opérant une classification parmi toutes les Hessiennes :
- Classe I : le déterminant de la Hessienne n’est pas nul.
- Classe II : le déterminant de la Hessienne est nul.
Concrètement, la nullité du déterminant d’une Hessienne vaut de facto placement dans la classe II de la partie principale de la décomposition dans laquelle elle apparait.
Note historique sur les éléments de la classe II
Il se trouve que les Hessiennes dont le déterminant sont nuls ont fait l’objet d’une attention particulière de la part d’O. Hesse lui-même dans les années 1850-1860. Il présumait qu’elles étaient toujours associées avec des hypersurfaces conoïdales.
L’histoire des mathématiques a démontré que cette proposition n’était vraie que pour les espaces de dimension deux et trois.
Le rôle des projections orthogonales dans une discussion sur les éléments de la classe II
Plus intéressant encore, les preuves de la non-validité de la proposition initiale font appel à la géométrie projective.
Ce fait m’a donné envie de d’abord aller voir du côté des projections orthogonales.
Mon but : trouver un lien avec les résultats acquis à l’aide des méthodes de décomposition des produits de Lie déformés.
Apparition de l’énigme euclidienne en dimension trois
J’explique les conséquences de cette légitime curiosité dans le document.
L’une d’entre elles met en exergue le comportement particulier des produits vectoriels déformés à l’approche de la limite euclidienne.
L’analyse mathématique fait apparaitre les spineurs d’E. Cartan.
Une analyse de l’élément de longueur riemannien menée avec l’aide des résultats de la méthode intrinsèque de décomposition des produits vectoriels déformés fait apparaitre la même problématique.
Le document
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Références utiles
[01] O. Hesse, Über die Bedingung, unter welche eine homogene ganze Funktion von unabhängigen Variablen durch Lineare Substitutionen von n andern unabhängigen Variablen auf eine homogene Funktion sich zurückführen lässt, die eine Variable weniger enthält, J. reine angew. Math. 42 (1851), 117–124.
[02] O. Hesse, Zur Theorie der ganzen homogenen Funktionen, J. reine angew. Math. 56 (1859), 263–269.
[03] P. Gordan, M. Noether, Über die algebraischen Formen, deren Hesse’sche Determinante identisch verschwindet, Math. Ann. 10 (1876), 547–568
[04] R. Permutti, Su certe forme a hessiana indeterminata, Ricerche di Mat. 6 (1957), 3–10.
[05] R. Permutti, Su certe classi di forme a hessiana indeterminata, Ricerche di Mat. 13 (1964), 97–105
[06] C. Lossen, When does the Hessian determinant vanish identically? (On Gordan and Noether’s Proof of Hesse’s Claim), Bull. Braz. Math. Soc. 35 (2004), 71–82.
[07] U. Perazzo, Sulle varietà cubiche la cui hessiana svanisce identicamente, Giornale di matematiche
(Battaglini) 38 (1900), 337–354
[08] A. Franchetta, Sulle forme algebriche di S4 aventi l’hessiana indeterminata, Rend. Mat. 13 (1954), 1–6.
[09] Bröcker, T.: Lineare Algebra und Analytische Geometrie; Grundstudium Mathematik, ein Lehrbuch für Physiker und Mathematiker, zweite, korrigierte Auflage; ISBN 3-7643-7144-7, Copyright © 2004 Birkhäuser Verlag, Postfach 133, CH-4010 Basel, Schweiz, 366 S.
[10] Cartan, E.: The theory of spinors; ISBN 0-486-64070-1, translation of the « Leçons sur la théorie des spineurs (2 volumes) », Hermann, 1937 – 154 p. Dover Publications, Inc. New York © by Hermann, Paris (1966), 157 pages.