Fiche descriptive
Auteur : © Thierry PERIAT.
Immatriculation : ISBN 978-2-36923-036-6, EAN 9782369230366
Version la plus récente : 3.
Nombre de pages : 81.
Date de parution : 2023.
Commentaires
La motivation physique à l’origine de la mise au point de la méthode intrinsèque de décomposition des produits vectoriels déformés
J’ai présenté sur ce site une exploration étudiant les régions vides dans lesquelles les lois de Maxwell s’appliquent.
Il invite spontanément à approfondir la démarche mathématique qui le sous-tend. J’ai donc entrepris de trouver à l’aide :
- d’un raisonnement et
- de la relation :
|[a, …][A]> = [P].|b> + |z>
… les paires ([P], z).
Résultats élémentaires
Soit, dans les espaces de dimension trois, les produits vectoriels déformés du type générique examiné.
S’ils acceptent une décomposition non-triviale ([P], z) dans M(3, C) x E(3, C), alors ils sont automatiquement associés à une polynomiale de degré deux.
Celle-ci s’écrit en fonction des trois composantes du projectile, a.
Par convention, elle se note L(a).
Cette phrase décrit en substance l’information contenue dans le théorème initial.
Voir la présentation générale des méthodes mathématiques.
Cette polynomiale coïncide avec le discriminant du système des trois relations linéaires induit par l’existence présupposée de la décomposition/division :
L(a) = |[J]F(a) – [P]|
L’étude ultérieure de la méthode extrinsèque montre que cette polynomiale accepte une autre interprétation. Notamment, elle est liée aux dérivées partielles des composantes du résidu z.
Principaux résultats
La démarche intrinsèque ne livre que les parties principales des paires ([P], z) recherchées.
Il existe deux grandes classes de solutions partielles :
Classe I : la polynomiale est propre
Dans ce cas, sa Hessienne [S0] est inversible et il existe un vecteur singulier s. La démonstration montre que la partie principale s’écrit génériquement :
[P]|A| = {[A]t. [J]}. [N]
[N] = ½. |A|. [S0] + [J]F(s)
|A| = ±1
Où :
- la matrice carrée de M(3, C), [A], caractérise la déformation apportée au produit vectoriel classique. Dans le monde euclidien [A] = [J].
- on peut considérer que la matrice [J] est une représentation d’une racine sixième de l’unité dans l’espace des nombres complexes.
- la matrice carrée (3-3) [J]F(s) est une matrice rotation dont l’argument est le vecteur singulier de la polynomiale propre. A noter au passage qu’elle est également la partie principale triviale de la décomposition de n’importe quel produit vectoriel classique du type :
|s x … > = [J]F(s). |…>
Classe II : la polynomiale est impropre
Dans ce cas, sa matrice Hessienne [S0] n’est pas inversible (|S0| = 0). Il n’y a pas de vecteur singulier.
Une remarque fortuite permet de constater que toute paire (a, b) de vecteurs dans E(3, C) vérifie la relation matricielle :
T2(Ä)(a, b) = ½. {T2(Ä)(a, b) + Tt2(Ä)(a, b)} + ½. [J]F(a x b)
T2(Ä)(a, b) est une table de Pythagore (de multiplication) des composantes des vecteurs de la paire (a, b).
Le formalisme d’une telle table de Pythagore pousse à l’interpréter comme la formulation limite du noyau de la partie principale obtenue dans le cas des polynomiales propres (rappel).
[N] = ½. |A|. [S0] + [J]F(s)
L’interprétation est recevable lorsque deux conditions sont réalisées :
½. (a x b) équivalent à s
et :
T2(Ä)(a, b) + Tt2(Ä)(a, b) équivalent à [S0]
Note historique sur les résultats obtenus
Le formalisme des parties principales des décompositions non-triviales des produits vectoriels déformés est longtemps resté dans l’oubli et en suspens.
Les raisons suivantes expliquent bien cet état de fait :
- La démonstration livre un résultat incomplet ; quid du résidu ?
- La longueur de la démonstration menant à ce résultat partiel décourage les lecteurs.
- Le résultat obtenu semble illogique. Il est pour le moins contre-intuitif puisqu’il ne coïncide pas avec décomposition triviale attendue :
|[a, …][A]> = [A]F(a). |…>
- Le peu d’intérêt porté à la démarche algébrique dans les années 2004-2005 par la communauté scientifique.
- La difficulté à classer le résultat obtenu quelque part où il soit utile.
Démonstation des résultats de la méthode intrinsèque
Sur demande uniquement.
Progrès accomplis entre 2004 et 2023
Plusieurs éléments et perfectionnements ont été apporté en vingt ans :
- Le problème des décompositions des produits vectoriels déformés peut s’incorporer au problème de l’optimisation linéaire (numéro neuf dans la classification de Smale).
- Une famille de méthodes dites extrinsèques (voir la présentation générale des méthodes) a permis de :
- proposer des décompositions complètes pour les espaces de dimension trois : partie principale et résidu.
- uniquement pour les produits vectoriels déformés, calibrer les nouveaux résultats avec ceux obtenus par la seule méthode intrinsèque.
- Le formalisme des parties principales invite à vouloir se pencher sur leurs liens éventuels avec les décompositions d’Iwasawa, polaires ou de Jordan-Chevalley (ou de Dunford).
© Thierry PERIAT, 18 novembre 2023.
Pour mieux se repérer sur le site
Références
- Le problème de Smale numéro neuf
- La décomposition d’Iwasawa
- La décomposition de Jordan-Chevalley