Méthodes mathématiques

Temps de lecture : environ 8 minutes

Mise au point de méthodes : motivations mathématiques

• entiers (l’ensemble N),
• relatifs (l’ensemble Z),
• rationnels qui sont des fractions de nombres entiers relatif (l’ensemble Q),
• réels (l’ensemble R),
• complexes (l’ensemble C),
• de Hamilton (l’ensemble H des quaternions)
• octonioniques (l’ensemble O).

Dans ce parcours menant un peu au-delà du baccalauréat, la division des nombres apparait avec les nombres rationnels.

En revanche, la division des vecteurs n’est jamais été évoquée clairement ; sauf peut-être au travers du concept des classes d’équivalence.

Cette page expose les grandes lignes des méthodes mathématiques de division des produits vectoriels déformés.

Mise au point de méthodes : première approche

L’idée de l’existence de ce type de division a germé au travers d’un télescopage de plusieurs cours concernant respectivement :

• les représentations matricielles des rotations dans M(3, R),
• le produit vectoriel dans les espaces euclidiens de dimension trois rapportés à des bases orthonormées directes,
• les torsions.

En effet, soit une rotation représentée dans M(3, R) par la matrice carrée (3-3), [M]. Soit l’espace vectoriel de dimension trois bâti sur le corps commutatif des nombres réels, E(3, R). L’action de cette rotation sur un vecteur v de E(3, R) se laisse représenter. Un exemple de représentation est une écriture mixte mélangeant matrices et représentations duales des vecteurs. Elle s’effectue dans E*(3, R) :

|w >= [M]. |v >

Le vecteur w obtenu de la sorte peut éventuellement l’être après qu’un vecteur u ait agi sur la gauche du vecteur v au moyen d’un produit vectoriel :

w = u x v

Ce fait encourage à penser que le vecteur w peut parfois être divisé de façon exacte par le vecteur v. Dans ce cas, le résultat en est le vecteur u. Il est facile de montrer qu’il possède au moins une représentation matricielle au travers de la relation :

u -> F(u) = [M]

Extrapolation à la notion de torsion

Le vecteur w aurait pu être obtenu au moyen de toute autre opération vectorielle qui serait génériquement notée f :

w = f(v)

Cette opération peut par exemple être une torsion. Auquel cas il convient d’écrire une relation du genre :

|f(v)> = [Rotation].|v> + |Translation>

Autrement dit, f se comprend comme une fonction agissant a priori sur un vecteur v de sorte à pouvoir écrire :

f = F([Rotation], translation)

Dans ce cas, chaque fois qu’il est possible d’écrire :

w = F([Rotation], translation)(v)

… cette fonction s’apparente clairement à une division non exacte du vecteur w par le vecteur v. La paire ([Rotation], translation) est la représentation du résultat de cette division.

Un exemple physique simple mais plein de conséquences

L’application de ces prémisses aux « équations de Maxwell pour les espaces vides » permet de prouver l’existence d’un courant de force neutre.

Pour rappel, les régions vides constituent l’écrasante majorité des volumes de l’univers. Elles sont le terrain de prédilection de la cosmologie.

Le fait de pouvoir déduire des résultats concernant le monde réel à l’aide de manipulations mathématiques encourage à se demander s’il est possible de généraliser la démarche.

C’est l’objectif que se fixe la théorie de la question (E) :

• d’abord dans les espaces de dimension trois en déformant les produits vectoriels ;
• puis en envisageant l’extrapolation de ce problème aux espaces vectoriels d’une dimension supérieure à trois.

La méthode dite intrinsèque dans les espaces de dimension trois

Pour réaliser la première étape de ce projet, il est nécessaire de :

• définir les données élémentaires de la problématique abordée ;
• mettre au point des méthodes mathématiques permettant de diviser les produits vectoriels déformés.

Le principe de l’existence de déformations contextuelles

La démarche justifie l’existence de déformations des produits vectoriels classiques par le fait que :

• tous nos calculs s’effectuent toujours dans un contexte donné. L’environnement géométrique est le contexte usuel. Au sein des mathématiques, il n’y a pas de raison à ce qu’il soit le seul.
• Ce contexte influence peu ou prou les résultats des opérations qui y sont effectuées. Ceci vaut en particulier pour les divisions des vecteurs.

Ce principe peut bien entendu s’appliquer dans les espaces dont la dimension est supérieure à trois. Il faut juste prendre soin de définir une extrapolation du produit vectoriel qui soit une opération interne.

Cette exigence interdit d’emblée d’utiliser le produit (dit) extérieur. 

Caractéristiques de la méthode intrinsèque ; exposé en dimension trois

La méthode dite intrinsèque s’applique aux produits vectoriels déformés agissant sur des vecteurs dont les composantes sont des nombres complexes.

Son objectif : diviser l’image duale d’un produit vectoriel déformé en la caractérisant par une paire ([partie principale], partie résiduelle) dans M(3, C) x E(3, C).

Ici :

f = F([A], u)

|w> = |[u, v][A]> = [partie principale].|v> + |partie résiduelle>

Elle est intrinsèque parce qu’elle fait uniquement appel à la matrice déformante [A] de M(3, C) et au projectile u de E(3, C) ; voir « la sémantique ».

La démonstration contient deux grandes parties ; chacune aboutit à un théorème :

• Le théorème initial démontre que le problème posé ne se dissocie pas de l’existence d’une polynomiale de degré deux écrite en fonction des composantes locales du projectile.

Il permet d’introduire deux catégories de polynomiales : propres et impropres.

• Le théorème de reconstruction ; il permet, pour chaque catégorie, de formaliser la partie principale de la division (j’utilise ensuite surtout le mot décomposition).

En savoir plus sur la méthode intrinsèque (sur ce site)…

Les imperfections de la méthode intrinsèque dans E(3, C)

Pour autant, la méthode intrinsèque s’accompagne de deux problématiques :

• Elle ne dit rien sur la partie résiduelle de la décomposition. Comme le démontrent des calculs ultérieurs, le résidu des décompositions a cependant un rôle essentiel en physique.
• Le formalisme des parties principales intrinsèques ne coïncide pas systématiquement avec celui attendu pour le cas où la géométrie est euclidienne. Cette difficulté est levée en contraignant la discussion mathématique à se dérouler sur E(3, C). Elle fait alors apparaitre des paires de  « spineurs » (avec le sens donné par E. Cartan à ce nom). Ces paires jouent un rôle fondamental lors de l’étude de la structure de l’espace {E(3, C), […, …][A]}. En effet, elles permettent de le doter d’une structure d’algèbre de Lie.

Le principe d’incertitude appliqué aux mathématiques

La première des deux insuffisances impose la mise au point d’une méthode plus complète. Celle que j’ai obtenu s’inspire du principe d’incertitude sur les mesures physiques énoncé W. Heisenberg.

Je le transpose aux mathématiques en admettant a priori que la recherche des solutions aux problèmes posés :

• ne livre parfois que des réponses approximatives ;
• exige la réitération d’algorithmes augmentant l’exactitude de ces réponses.

Caractéristiques de la méthode extrinsèque

La dimension trois pour exemple pédagogique

Je décris ici l’état d’esprit dans lequel cette méthode est développée en l’appliquant aux produits vectoriels déformés.

Il sera ensuite possible de généraliser la démarche aux espaces vectoriels de dimension supérieure à trois lorsque ceux-ci sont équipés d’un produit tensoriel déformé.

Une spécificité technique des espaces de dimension trois

L’application de l’idée à la dimension trois est rendue possible grâce à une spécificité technique. A savoir, un produit vectoriel déformé n’est rien d’autre qu’un produit tensoriel déformé par un cube (3-3-3) antisymétrique (ou anti-réduit).

L’anti-symétrisation (resp. l’anti-réduction) étant faite, le cube déformant A devient une matrice [A].

Application du principe d’incertitude dans sa version mathématique

Arrivé à ce stade, le principe d’incertitude appliqué aux mathématiques permet d’affirmer en général que :

|w> = |[u, v][A]> différent de [partie principale].|v> + |partie résiduelle>

Une conséquence immédiate de ce principe est qu’il existe en général une différence vectorielle :

|D> = |[u, v][A]> – {[partie principale].|v> + |partie résiduelle>} différent de |0 >

Une conséquence indirecte est la possibilité de construire deux produits « scalaires associés » à la différence vectorielle : soit avec le projectile, soit avec la cible.

Par exemple, dans un contexte caractérisé par la matrice [G] de M(3, C) :

s([G], u) = < u, D >_[G]

s([G], v) = < v, D >_[G]

L’essence de la méthode extrinsèque

La première mouture de l’ensemble des « méthodes dites extrinsèques » consiste à vouloir simultanément :

• comparer :
  • chaque (produit) scalaire associé à une décomposition d’un produit tensoriel déformé ;
  • avec un développement limité à l’ordre deux d’une polynomiale de degré deux ;
• recenser les conditions annulant le scalaire associé.

La méthode est praticable même si elle s’accompagne de quelques modestes contraintes. Elle livre rapidement le formalisme générique complet des décompositions recherchées.  

Les imperfections de la méthode extrinsèque

Pour autant, ici aussi, l’usage de la méthode s’accompagne de difficultés :

• Si l’annulation de la différence vectorielle D entraine bien celle des produits scalaires associés, l’inverse est faux. En effet, l’orthogonalité de la différence vectorielle D avec l’un des deux arguments du produit déformé suffit à annuler le produit scalaire associé. Il faut donc toujours accompagner la réalisation de la méthode extrinsèque d’une analyse logique des circonstances dans lesquelles elle est utilisée.
• Pour un produit vectoriel déformé donné, la méthode extrinsèque fournit une partie principale dont le formalisme diffère de celui livré par la méthode intrinsèque ! Il est donc impératif de rechercher les conditions autorisant la coïncidence entre les deux résultats.

A la recherche d’une méthode complète applicable dans toutes les dimensions

La difficile mise au point de la méthode intrinsèque en dimension quatre.

Les calculs algébriques menés en dimension trois devraient en principe être réitérés en dimension quatre. Ce qui est une tâche quasiment inhumaine. Le théorème initial peut facilement se généraliser pour les cubes antisymétriques. L’étude livre un polynôme de degré trois écrit en fonction des quatre composantes du projectile.

La méthode dite de montée à la dimension supérieure.

L’étude systématique des méthodes permettant de diviser des produits tensoriels déformés offre une troisième opportunité.

Son principe repose sur les célèbres figurines du folklore slave.

De fait, elle examine comment trouver une décomposition en dimension D + 1 quand celle-ci est connue en dimension D.

© Thierry PERIAT, 17 novembre 2023.