La constante cosmologique

Au départ, il y a une théorie

La constante cosmologique a une très longue histoire : un peu plus d’un siècle. Elle donne de précieuses indications sur le modèle retenu pour décrire au mieux l’ordre cosmique. Elle apparaît dans les équations de la théorie de la gravitation d’A. Einstein (dite également de la relativité générale) suggère [01].

Temps de lecture : environ 15 minutes.

Car, si les équations contiennent bien une constante, elles laissent également le champ libre à plusieurs scénarios.

Chacun d’eux :

• dépend de la valeur de la constante cosmologique,
• correspond à un type d’évolution globale de l’univers et
• se classe dans l’une des trois catégories : recroquevillement, équilibre ou expansion de l’univers.

… mais deux interprétations !

Einstein et de Sitter proposent, séparément, un modèle d’univers basé sur la nouvelle théorie.

• Celui d’Einstein correspond à un univers uniforme et statique. Cette idée est totalement en accord avec les croyances/connaissances de l’époque parce que les observations manquent. Il n’est ni en expansion, ni en mesure de collapser. La constante cosmologique y figure pour rendre compte de cette stabilité.
  • Elle joue ici le rôle d’une force s’opposant à la gravitation. Einstein introduit en quelque sorte la première force d’antigravitation !
  • Pour cette raison, elle doit être évaluée « à la main », c’est-à-dire expérimentalement. Sa valeur sera directement liée à la densité volumique de matière (qui sera) observée. Elle lie ainsi le global et le local, en accord avec le principe de Mach.
• Malheureusement, en 1917, Einstein a un challenger : de Sitter. Celui-ci fait paraître un autre exemple d’univers décrit de façon cohérente avec les équations d’Einstein. Il est isotrope, fait intervenir une constante cosmologique, mais est totalement dépourvu de matière !

Bilan :

• La présence d’une constante cosmologique dans les équations de la relativité générale n’engendre pas qu’un seul type d’univers …

• Le lien souhaité par Einstein entre « présence de matière » et « constante cosmologique » semble compromis.

Les premières observations astronomiques

Les observations de la fin du 19^ème et du début du 20^ème siècles (voir le rôle des « computer ladies » et le travail de Hubble) commencent à donner plus d’envergure à l’univers connu.

Elles le font sortir du système solaire et bientôt de la Voie Lactée.

Un double constat s’impose :

• Il contient de la matière, beaucoup de matière, bien plus que ce que les prédécesseurs pouvaient imaginer ;
• Apparemment, la gravitation n’a pas encore pris le dessus sur toutes les autres forces parce que sinon – depuis Newton- l’univers se serait effondré sur lui-même.

Plusieurs modèles restent possibles

L’approche de « De Sitter » aurait pu rapidement disparaître dans les oubliettes de l’histoire de la cosmologie… si elle n’avait exhibé une étrange propriété :

« En injectant des particules matérielles dans ce modèle (rappel : la version initiale opposée à celle d’Einstein n’en contenait pas), celles-ci s’éloignent inexorablement les unes des autres (c’est l’effet De Sitter !) ».

Ce résultat du calcul a très vite été mis en relation avec les décalages vers le rouge prédits par la théorie d’Einstein et observés par Vesto Slipher [02 ; p. 325].

Sa publication de 1923 rend compte d’observations concernant 41 galaxies – parmi elles, 36 exhibaient un décalage vers le rouge tandis que les cinq autres montraient un décalage vers le bleu, y compris la galaxie Andromède.

L’astronome Carl Wirtz propose dès 1922 une première relation connectant l’éloignement et la vitesse des galaxies.

Comme Robertson l’a montré plus tard, le côté apparemment statique de l’univers de De Sitter n’était que fiction. On dira même après coup, que ce modèle était « mouvement sans matière » et que celui d’Einstein était « matière sans mouvement » [02 ; p. 329] .

Enfin, à noter que la relation proposée par Wirtz est reprise ensuite par Robertson (1928), puis par Hubble (1929).

La naissance des algèbres de Lie

A la même époque, les mathématiques s’intéressent beaucoup aux espaces homogènes.

Les travaux font appel aux algèbres de S. Lie (1842 – 1899 [03]). L. Bianchi (1856 à Parme – 1928 à Pise [04]) classe celles bâties sur des espaces de dimension trois en 1918 [05 ; § 116, pp. 454-461].

Le regard des mathématiciens confirme la multiplicité des univers possibles ainsi celle des types d’expansions.

Hélas, cette multiplicité ne permet pas de comprendre le rôle réellement joué par la constante cosmologique.

Le mystère né au début du vingtième siècle demeure entier au début des années mille neuf cent trente.

Une remarque émerge de ces travaux : l’univers peut se déformer (expansion ou contraction).

Les premiers pas de la géométro-dynamique

Ce fait donne naissance à diverses prédictions qui ne seront vérifiées expérimentalement que quatre-vingts ans plus tard.

Parmi elles : l’effet Thirring-Lense, la précession de Thomas, les ondes gravitationnelles [06], [07], [08 ; chapitres 29, 30 et 32, en allemand].

Comme suite logique, les premières réflexions sur ce que J. Wheeler nommera la géométrodynamique apparaissent [09].

Autour des années 1960, ce physicien tentera même de reformuler la géométrodynamique inhérente à la théorie d’A. Einstein.

Son espoir : construire les premières briques d’une gravitation quantique ; en vain.

Les modèles dits de l’écume de spins

Les développements récents de ces prémisses prennent diverses formes dont certaines sont parvenues jusqu’aux regards du grand public.

Par exemple : le modèle bâti sur un espace-temps conçu comme manifestation observable, comme l’écume, d’un champ de spins sous-jacent.

Cette branche de recherche reste active [10] et incorpore désormais des notions sophistiquées de topologie.

Elle connaît actuellement un essor incontestable et accouchera peut-être un jour de solutions acceptables pour les énigmes auxquelles la science fait face.

Les expériences de Morley et Michelson

Les conséquences directes des expériences de Morley et Michelson

Les conséquences directes mais fondamentales des expériences de Morley et Michelson restent :

• la démonstration de l’invariance de la vitesse de la lumière par rapport à des observateurs inertiels  ;
• la preuve de l’absence d’éther.

La naissance d’une dichotomie stricte des volumes de l’espace-temps

es conséquences sont aussi à l’origine d’une dichotomie stricte qui s’énonce ainsi :

« Les espaces (-temps) situés en dehors des zones occupées par des agglomérats de matière classique sont vides, … absolument vides, tellement vides qu’ils s’apparentent au néant. »

Les transformations de Lorentz-Poincaré

L’invariance de la vitesse de la lumière pour des observateurs inertiels exige de mettre au point les outils mathématiques rendant compte de cette invariance.

On trouve là la motivation ayant mené H. A. Lorentz (1853 à Arnhem – 1928 à Haarlem) et H. Poincaré (1854 à Nancy – 1912 à Paris) à écrire des transformations devenues célèbres entre-temps. Les étudiant(e)s se penchant aujourd’hui sur les calculs accompagnant la théorie de la relativité restreinte ne peuvent plus échapper à l’étude de ces transformations [12].

L’apparition de la constante cosmologique

Montée des discussions dans un espace de dimension quatre

Mais il y a une autre manière de transcrire ces résultats expérimentaux en équations.

C’est celle consistant à porter la discussion géométrique dans un espace de dimension quatre puis à étudier les conditions assurant l’invariance d’un élément de longueur riemannien par changement de référentiel.

L’héritage de Gauss via Riemann et Christoffel

C’est l’endroit exact où les travaux de B. Riemann (1826 à Breselenz – 1866 à Selasca), E. B. Christoffel (1829 à Montjoie – 1900 à Strasbourg) [13] (voir une version française pour les espaces de dimension trois dans [14]), et H. Minkowski (1864 à Alexotas vald – 1909 à Göttingen) rentrent en ligne de compte.

L’approche alternative mais essentielle d’E. Cartan

Mais pas seulement ; car, côté France, en 1922 E. Cartan (1869 à Dolomieu – 1951 à Paris) fait paraitre son travail « Au sujet des équations de la gravitation d’A. Einstein » [15].

Par un tout autre chemin logique que celui qui a été suivi par l’école allemande, il redémontre que l’invariance de l’élément de longueur riemannien mène à l’équation maîtresse de la relativité générale.

Au passge, il prouve que les mathématiques autorisent la présence d’un terme s’apparentant à la constante cosmologique.

Comment interpréter la constante cosmologique ?

La constante cosmologique introduite par Einstein dans la première formulation de ses fameuses équations pose problème.

Elle illustre à merveille les difficultés rencontrées de manière récurrente par les physiciens.

Comment faut-il interpréter cet objet mathématique ?

Un conflit profond entre deux approches de la même réalité

« Qu’est-ce que le problème de la constante cosmologique ? »

Certains auteurs veulent voir dans notre incapacité à interpréter la constante cosmologique la manifestation d’un point d’achoppement entre les deux piliers de la physique du vingtième siècle.

Ils entendent par ces mots : la théorie de la relativité générale et l’approche quantique de la réalité [16].

La divergence de point de vue entre les deux approches sur la quantité d’énergie contenue par les espaces (-temps) qualifiés de vide signe une rupture de cohérence dans les édifices théoriques ; mais laquelle ?

Comment définir les régions vides de l’univers ?

Peut-être serait-il pertinent de commencer par s’entendre une bonne fois pour toute sur la signification de la notion de « vide ».

Faut-il interpréter la constante cosmologique en adoptant un point de vue totalement disruptif ? En disant par exemple qu’elle n’a en réalité aucun lien direct avec la répartition de matière et qu’elle désigne ce que nous nommons pour le moment par défaut : l’énergie sombre ?

La dichotomie « vide – matière »

Les progrès de la chimie et l’apparition de la physique quantique modulent la dichotomie entre vide et matière

Compte tenu de l’avancement des connaissances sur la chimie et sur les atomes, un tel jugement ne pouvait pas gêner les scientifiques de la fin du 19^ème siècle.

La physique quantique ne prendra son essor qu’autour des années 1930.

Et justement, cette séparation abrupte entre ce qui est (la matière) et ce qui n’est pas (le vide) doit désormais se corriger des données observationnelles et des connaissances accumulées depuis.

• L’une des plus accessibles d’entre elles consiste à ne pas oublier que la Terre a une atmosphère gazeuse. Elle n’est pas la seule planète dans son cas. Mais il serait dommageable de la perdre à cause du réchauffement climatique !

On peut donc, à ce titre, dire que le passage de la phase solide (les terres émergées) ou liquide (les océans, les lacs et les rivières) caractérisant la surface terrestre au vide intersidéral s’opère avec une certaine progressivité si on considère la densité volumique de la phase gazeuse de l’atmosphère.

• A une autre échelle, des observations astronomiques récentes montrent que la périphérie de certaines galaxies est gazeuse et ionisée.

Pour résumer de manière grossière et pédagogique, la transition entre les espaces (-temps) vides et les espaces (-temps) qui ne le sont pas absolument s’opère d’une manière nuancée. Dans chaque cas, elle est en rapport avec des circonstances physico-chimiques locales et momentanées.

Les représentations graphiques de la répartition de la matière dans ses diverses phases possibles permettent de bien comprendre ce fait.

Précisions sur la localisation des volumes vides de l’univers

Malgré tout et in fine, ne serait-ce que dans les interstices intermoléculaires, interatomiques ou inter particules, l’univers renferme d’immenses volumes spatio-temporels absolument vides de matière.

Et ce sont ces volumes et ceux-là seulement qui méritent légitimement le label d’espace-temps « vides ».

Peut-on arpenter l’espace-temps ?

Voilà là une question logique et pragmatique à laquelle il serait bon de savoir bien répondre pour pouvoir discuter de l’univers et de son évolution.

« Sur quoi, sur quel outil, le géomètre situé dans une station spatiale évoluant dans un espace (-temps) absolument vide devrait-il s’appuyer pour mesurer des distances, des surfaces et des volumes ? »

« Ne serait-il pas obligé de chercher du regard ou à l’aide de lunettes astronomiques et de télescopes, les zones matérielles existantes pour espérer arpenter les volumes auquel il fait face ? »

La réponse est bien évidemment : « Oui ». J’explique pourquoi sur la page liant les aires et les métriques.

Mesurer l’univers

Et c’est d’ailleurs ce que font les astronomes depuis des siècles. Ces géomètres de l’espace-temps scrutent le firmament, repèrent des étoiles fixes et tentent d’en mesurer l’éloignement à la Terre.

C’est aussi ce que font inconsciemment les chimistes, les biologistes et tous ceux balayant l’infiniment petit à l’aide des microscopes.

L’arpentage aux grandes échelles a justement révélé que les points supposés fixes matériels s’éloignent de nous (voir la question concernant la mesure de la constante de Hubble).

Les points matériels mouvants servent à étalonner les espace-temps. Ils définissent de facto une structure géométrique dont ils sont les nœuds. Au milieu d’eux, un volume quadridimensionnel. La structure évolue et les volumes qu’elle délimite avec elle.

Depuis la fin des années quatre-vingt (1988), les observations semblent même indiquer qu’ils nous fuient de plus en plus vite ! Elles posent l’une des questions encore ouvertes.

Omniprésence du vide et rareté de la matière

Les volumes quadridimensionnels occupés par la matière observable et observée sont infiniment moindres que ceux occupés par ce que nous décrivons par contraste comme ceux étant occupé par … du vide.

Une question métaphysique importante

Y-a-t-il un lien logique entre les zones vides de matière et celles qui ne le sont pas ? Un lien qui explique rationnellement ce fort différentiel ?

Ce sont les questions ayant probablement inspiré l’état d’esprit des travaux de Hoyle : un adepte du créationnisme continu s’opposant à la vision un tantinet déiste de la théorie du Big-Bang.

De Hubble ou Hoyle : qui a la meilleure vision de notre cosmologie ?

La situation actuelle

Pour l’heure, les communautés scientifiques disposent de la théorie d’A. Einstein.

Globalement bien admise, elle accepte implicitement l’existence d’une structure géométrique sous-jacente dont les modifications expliquent la gravitation. Elle se laisse représenter par le tenseur métrique. Les composantes de celui-ci sont souvent regroupées dans une matrice (4-4) génériquement notée [G].

De nouvelles preuves en faveur de cette théorie ont été apportées récemment. Elles concernent :

• la mission « Gravity Probe B » (2004 – 2010) pour ce qui concerne la précession géodésique et l’effet Thirring-Lense ;
• la détection des ondes gravitationnelles grâce aux interféromètres LIGO (2015).

Une attitude terre-à-terre consiste donc peut-être à admettre que :

• L’univers a un volume quadridimensionnel variable. Il contient divers types d’énergies, y compris celles ne correspondant pas à un type référencé de particules.
• L’une de ces énergies est justement dite « sombre » et, pour l’heure, d’une nature inconnue.
• Les simulations du cosmos exhibent des répartitions filamentaires de matière. Elles semblent « entourer » de vastes bulles vides contenant a priori cette énergie sombre. 
• Ces répartitions fondent l’intérêt que des théoriciens peuvent porter aux cordes élastiques.
• L’exception matérielle suggère l’idée osée qu’une particule correspond à un changement de phase spécifique. Il serait signé, par exemple, par l’apparition d’un champ de gravitation newtonien.

Bibliographie

[01] Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie; von A. Einstein. Annalen der Physik: vierte Folge, Band 49 (1916), Nr. 7.

[02] Harrison, E. R. : Kosmologie, die Wissenschaft vom Universum; en allemand, traduit de l’anglais par Helma et Günther Schwarz, © Verlag Darmstädter Blätter, 1983, 659 pages.

[03] O’Connor, J. J. et Robertson, E. F. : Marius Sophus Lie ; en anglais, mai 2010, sous licence internationale CC BY-SA 4.0 – https://www.mathshistory.st-andrews.ac.uk.

[04] O’Connor, J. J. et Robertson, E. F. : Luigi Bianchi ; en anglais, février 2000, sous licence internationale CC BY-SA 4.0 – https://www.mathshistory.st-andrews.ac.uk.

[05] Landau, L. D., Lifschitz, E. M.: Klassische Feldtheorie, Lehrbuch der theoretischen Physik, Band II; en allemand et traduit du russe [in dt. Sprache hrsg. von Hans-Georg Schöpf. Übers. aus dem russ. von Georg Dautcourt], – 12. überarbeitete Auflage, Akademie Verlag GmbH, Berlin, 1992, ISBN 3-05-501550-9, 480 pages.

[06] Thirring H.: Phys. Z., 19, 33 (1918); Phys. Z., 22, 29 (1921).

[07] Lense, J. and Thirring, H.: Phys. Z., 19, 156 (1918).

[08] Fliessbach, T.: Allgemeine Relativitätstheorie; © 2003, 4. Auflage, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin, ISBN 3-8274-1356-7, 343 pages.

[09] Misner, C. W., Thorne, K. S., Wheeler, J. A.: Gravitation W. H. Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0, San Francisco, 1973.

[10] Anderson, E.: Geometrodynamics: spacetime or space? arXiv: gr-qc/0409123v1, 30 September 2004.

[11] A. Michelson and E. Morley: ‘On the Relative Motion of the Earth and the Luminiferous Ether. Originally published in “The American Journal of Science”, N° 203-November 1887 (Editors James D. and Edward S. Dana; associated editors: Prof. A. Gray, J. P. Cooke and J. Trowbridge, of Cambridge, Prof. H.A. Newton and A. E. Verrill of New Haven; Prof. G. F. Barker of Philadelphia. Third series, Vol. XXXIV.- (Whole number, CXXXIV.)

[12] Lennuier, R., Gal, P.-Y., Perrin, D. : Mécanique des particules, champs; collection U, © librairie Armand Colin, Paris 1970. 

[13] Über die Transformationen der homogenen Differenzialausdrücke zweites Grades: E.B. Christoffel, in Journal für die reine und angewandte Mathematik, (pp. 46 – 70), Berlin 1826; 03.01.1869.

[14] Cotton, E. : Sur les variétés à trois dimensions ; annales de la faculté des sciences de Toulouse, 2ème série, tome 1, n°4 (1899), p. 385-438 ; [numdam.org/item?id=AFST_1899_2_1_4_385_0].

[15] Cartan, E. : Sur les équations de la gravitation d’Einstein ; extrait du journal de mathématiques 1922. Fasc. n°2. Gauthier-Villard et Cie, éditeurs, Paris, 74 pages.

[16] Cohen-Tannoudji, C., Diu, B., Laloë, F. : Mécanique quantique, 2 tomes; ISBN 2 7056 5733 9, © 1973 Hermann, Paris.